Парадокс Банаха — Тарского
Теорему Банаха — Тарского называют парадоксом, поскольку она феноменально противоречит интуиции. Теорема утверждает, что сферу можно разделить на конечное число частей, и их передвижением, как твёрдых тел, получить в итоге две сферы того же радиуса. В лекции объясняется главный механизм, который, кстати, в аксиоме выбора не нуждается.
Утверждение выглядит шокирующе, однако, – это теорема. Безусловно, – не катастрофа. Соответствие y=2x тоже ведь показывает, куда передвинуть точки [0,1], чтобы из [0,1] получился отрезок [0,2]. В теореме это гениально обыграно. Сильное впечатление производит возможность подходящего разрезания S на конечное число кусков. О «разрезании», вместо разбиения, говорят для усиления эмоционального эффекта. Насчет «кусков» тоже перегиб, «куски» неконструктивны, – доказывается существование, но без рецепта. И вообще, для оценки результата в данном случае важно доказательство, без которого не видны причины, каковые очень просты и элементарно гасят экстаз удивления.
Справка насчёт аксиомы выбора. В любом семействе Ф непустых множеств в каждом X из Ф можно выбрать по одному элементу. Другими словами, существует функция выбора f, ставящая в соответствие каждому X элемент f(X) в X.
Навскидку безобидный факт. До 1904 г. им пользовались безотчетно, и ситуация сохранялась бы, если бы не Цермело, привлекший внимание к утверждению своими изысканиями. Общественность задумалась, а потом ахнула. Обнаружились столь невероятные следствия (парадокс Банаха – Тарского и др.), что от предпосылки впору было отказываться. Но тогда, как выяснилось, надо отказываться от других удобных и уже привычных инструментов.
В итоге математическая общественность смирилась с парадоксом, переосмыслив
«катастрофу», – и теперь к аксиоме выбора принято относиться терпимо.