Показательная функция
Основные свойства, графики. Вычислительный алгоритм для извлечения корней. Общий разговор о математике. Почему пора бить в колокола.
Считая в ситуации $c=a^{b}$ одно число фиксированным, другое аргументом, третье функцией, мы получаем несколько вариантов зависимостей:
\[y=x^{b} - \text"степенная функция",\]
\[y=a^{x} - \text"показательная функция",\]
\[x=a^{y} - \text"логарифмическая функция": y=\log_{a}x.\]
Далее речь идёт о показательной функции, которая проходит через всю математику, а значит и через всё житейское море. Функция $y=ka^{x}$ также считается показательной (exponential), а рост $ka^{x}$ экспоненциальным. В случае целочисленного аргумента, $x=n$, последовательность $ka^{n}$ называется геометрической прогрессией. Содержательно аргументом показательной функции часто бывает время, $x=t$. В случае $x=n$ можно также говорить о времени, дискретном.
Экспоненциальные процессы очень широко распространены в природе. Основная причина заключена в том, что скорость роста многих величин пропорциональна самим этим величинам. Численность популяции, например, от поколения к поколению меняется по закону
$$x(n)=qx(n-1).$$
Решением $x(n)=qx(n-1)$ является экспоненциальная функция $x(n)=x(0)q^{n}$, представляющая собой геометрическую прогрессию со знаменателем $q$.
Занимаясь любой темой, на любом витке спирали, полезно хотя бы бегло оглянуться назад, охватывая истоки и забытые определения.
Свойства:
Для рациональных $x=p/q$ значение $a^{x}$ определяется как
$$a^{p/q}=√^q{a^{p}}.$$
Основание $a$ показательной функции $a^{x}$ обычно предполагается положительным, $a>0$. Иногда добавляют $a=0$, но тогда значение $0^{x}$ при $x≤0$ не определено. Значения $a<0$ исключаются. Усвоить необходимо до автоматизма:
\[a^{0}=1,... a^{-x}=1/{a^{x}},\]
\[a^{u+v}=a^{u}a^{v};... (a^{u})^{v}=a^{uv};... (ab)^{x}=a^{x}b^{x}.\]
Очень важное свойство
Из $a^{p/q}=√^q{a^{p}}$ следует $a^{x}>1$, если $a>1$ и $x>0$. Поэтому
\[a^{x}-a^{z}=a^{z}(a^{x-z}-1)>0,... \text"если": x>z,\]
откуда следует, что $a^{x}$ монотонно возрастает по $x$.
Благодаря монотонности отдельные вычисленные точки $y=a^{x}$ можно более-менее плавно (монотонно) соединить кривой, дающей верное качественное представление о зависимости $y=a^{x}$.
Знакомиться с показательной функцией очень важно не по Википедии. Википедия – замечательный интернет-ресурс, но он создан для других целей. Не для обучения, хотя в некоторой степени может способствовать этому процессу. Но чаще вредит, особенно на первом этапе, создавая иллюзию, что всё известно. Основная трудность овладения любым Знанием не в грубой информации, а в ощущении единства. В понимании взаимосвязи частей, их работоспособности, происхождения. Почему всё оформилось так, а не иначе? Начинаешь вдумываться и понимаешь, что по-другому было бы неудобно, противоречиво. Короче, перечисленные выше свойства необходимо продумать в рамках естественного сценария. Сначала взаимоувязка свойств для целых показателей степени. Затем определение корней целой степени, и уже затем повторение сценария для дробных показателей, каковой сводится к повторению прежней схемы для целых $p$ над числами $√^q{a}$, – см. видео. Всё это должно приводить к ощущению владения предметом, а не знакомства.
Принципиальный здесь момент – введение корней $√^q{a}$, для вычисления каковых имеются эффективные методы. Скажем, итерационный метод Ньютона
\[x_{n+1}=x_{n}-{f(x_{n})}/{f'(x_{n})},\]
решающий уравнение $f(x)=0$, в случае $f(x)=x^{2}-2$ вычисляет $√{2}$, давая последовательные приближения. (Здесь $f'(x)=(x^{2}-2)'=2x$. Геометрическая подоплека метода объясняется в видео.)
\[x_{n+1}=1/2x_{n}+{1}/{x_{n}}.\]
Казалось бы, ничего особенного, однако дюжина итераций, начиная, допустим, с $x_{0}=1$, даёт тысячу (!) верных знаков после запятой.