Существует ли бесконечность
Бесконечна ли Вселенная, и если — да, то «этого не может быть». А если нет, то что там по ту сторону? А кто любит сказки насчёт ограниченных многообразий без края, типа сферы, — пусть мысль пошлёт перпендикулярно краю. Что там? Или кто. Вымышленная бесконечность не так пронзительна, но тоже непостижима, местами. Георг Кантор. Сравнение бесконечностей. Континуум. На квадрате столько же точек, сколько на отрезке.
Испепеляющее жжение пространственной вечности шокирует до тех пор, пока проблемы Поднебесной воспринимаются нутром, а не умом. Потом пронизывающий зов «неисчерпаемости» помаленьку глохнет, и обжигаясь о реальность, человек прячется в выдуманном мире. Спрятаться хорошо всё равно не удаётся.
В мире идей бесконечность является в другом облике. В каком смысле существует натуральный ряд? Как разворачивающийся процесс или как завершившийся? Натуральные числа потенциально можно построить или они уже есть в наличии? Поначалу проблема
отдаёт схоластикой. Не все ли равно, казалось бы. Последствий-то никаких.
Последствия тем не менее грандиозные. В альтернативе получаются две разные математики. Одна – конструктивная, не допускающая осуществления бесконечности во всей её необъятности. Другая – обычная, всеядная.
Мелкие неприятности от присутствия бесконечности возникают уже в элементарных
ситуациях типа, где наличие взаимно однозначного соответствия n ↔ n^2 подталкивает к мысли, что целых чисел столько же, сколько их квадратов. Пример давно набил оскомину, но он в простейшей форме отражает наличие проблемы. Получается ведь, если Некто забирает у меня каждый день 10 рублей, а отдаёт – один, то, когда процесс закончится, мы будем квиты. Ибо, если ряд уже состоялся, n-й рубль мне был отдан в n-й день. Парадокс, конечно, не стоит выеденного яйца, потому что процесс никогда закончится, – думает пятиклассник.
А как быть с дробями p/q? Они все «уже есть» на отрезке [0,1]. Они тут, их не надо добавлять одну за другой. Так что [0,1] – «ловушка конечного размера для бесконечности». Маленький
кошелёк, куда помещаются все дроби. А корень из двух, как состоявшаяся бесконечность, из-за бесконечности десятичной дроби. Поэтому у теории множеств есть все основания рассматривать бесконечность как «данность». Другое дело что к этой данности предъявляются определённые требования, дабы не возникало противоречий.
Однако, как только что-либо признаёшь, начинаются хлопоты. Бесконечностей рой, и с
ними надо как-то управляться. Этим занялся Георг Кантор, создавший теорию множеств. Случившаяся революция подтверждает известный тезис «истина рождается как ересь и умирает как банальность». Главные идеи сегодня доступны всем. А «тогда» невозможно
было объяснить никому. Интуиция противилась. Сейчас-то болезнь укоренилась, недоумение иссякло.
В основу изучения множеств Кантор положил инструмент взаимно-однозначного соответствия. Множества X, Y эквивалентны, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Отношение эквивалентности рефлексивно и транзитивно, что позволяет разбить все
множества на классы эквивалентности. Класс эквивалентности множества X называют его мощностью, и обозначают как |X|. Множества упорядочиваются по мощности с помощью естественного трюка.
Множества, эквивалентные натуральному ряду, называют счётными. Счётны любые последовательности. Рассмотрение десятичных дробей сталкивается с новым явлением. Множество таких чисел (континуум) оказывается несчётным.
Весьма болезненной была историческая попытка установить, что отрезок [0,1] и квадрат [0,1]х[0,1] имеют разные мощности. Оказалось – одинаковые. Такой встряски мир не получал со времен Галилея, когда обнаружилось, что все тела падают с одинаковым
ускорением.
Как бы там ни было, бесконечность завоевала место под солнцем. Без неё в математике всё «стояло бы на месте». Да~оно и стоит – в конструктивной математике, куда не помещается – обыкновенная. Равенства и неравенства конструктивных чисел чаще всего не проверяются, последовательностям некуда сходиться, пределы не существуют, непрерывность только снится, и вообще всё рушится. Жуткая картина. Степень катастрофы даже трудно оценить. Поэтому бесконечность почти так же полезна как «единица». Другая сторона медали, как бы. Эдакое вместилище того, «чего не бывает».