Теория вероятностей

Стартовая площадка теории вероятностей очень проста. Рассматривается конечное или бесконечное множество, называемое пространством элементарных событий, на котором задана функция p(i), принимающая значения из [0,1] и удовлетворяющая условию нормировки. Значения p(i) считаются вероятностями элементарных событий. Множества A называют событиями и определяют их вероятности как суммы входящих p(i). Вот и весь фундамент, упрощённо говоря. Исторический путь к нему был долгим и запутанным. Теперь те дороги стали музейными лабиринтами.

Модель, разумеется, необходимо научиться привязывать к реальности. Для этого надо посмотреть, как примеры укладываются в общую схему. Изложение далее определяют следующие оперные точки.

Парадокс Кардано. При бросании двух игральных костей сумма выпавших чисел получается равной – как для 9, так и для 10 – в двух вариантах:

сумма 9 ↔ (3,6) и (4,5), сумма 10 ↔ (4,6) и (5,5). Но вывод о равенстве вероятностей этих событий – ошибочен. см. PDF

Условная вероятность. Вероятность P(B|A) наступления B при условии наступления в то же время события A, – называют условной.

Задача. Имеется три картонки. На одной – с обеих сторон нарисована буква A, на другой – B. На третьей картонке с одной стороны A, с другой – B. Одна из картонок выбирается наугад и кладется на стол. Предположим, на видимой стороне картонки оказывается буква A. Какова

вероятность, что на другой стороне – тоже A?

«Одна вторая», – ошибочно отвечает интуиция, и причина заблуждения далеко не очевидна. Дело в том, что картонка не только случайно выбирается, но и случайно укладывается на одну из сторон. Поэтому логика здесь такая. Всего имеется шесть нарисованных букв, – три буквы A, две на картонке AA и одна – на AB. Букву A из AA вытащить в два раза вероятнее, чем из AB. Получается, вероятность того, что на столе лежит картонка AA, равна 2/3.

Если кого-то смущают картонки, то это – для простоты и краткости. Реальные прикладные задачи описывать громоздко, а читать скучно. Но таких задач, где здравый смысл терпит фиаско, довольно много. И дело не в том, что ахиллесова пята интуиции приходится на вероятность. Слабое место интуиции в другом. Взаимодействие всего двух факторов ставит воображение в тупик. А комбинация многофакторности с наглядностью – в теории вероятностей такова, что все время искрит.

Независимость. События A и B называют независимыми, если P(B|A)=P(B), т. е.

формула умножения вероятностей переходит в P(AB)=P(A)(B).

Далее рассматриваются также парадокс Бернштейна и парадокс транзитивности, см. PDF