Формула бинома Ньютона
Формула. Некоторые следствия. О тренировке подсознания.
При перемножении $n$ сомножителей
\[(x+y)(x+y)...(x+y)\]
число членов вида $x^{n-k}y^{k}$ равно $C^{k}_{n}$, поскольку $k$ штук $y$ в $n$ сомножителях можно выбрать числом способов $C_{n}^{k}$. Поэтому
\[(x+y)^{n}=x^{n}+C_{n}^{1}x^{n-1}y+C_{n}^{2}x^{n-2}y^{2}+...+C_{n}^{n-1}xy^{n-1}+y^{n}\]
Это формула бинома Ньютона, которая часто используется.
Полагая $x=y=1$, получаем
\[C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=(1+1)^{n}=2^{n}.\]
В случае $x=1$, $y=-1$, имеем
\[C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...(-1)^{n}C_{n}^{n}=0.\]
Упражнение
\[(x+y+z)^{n}=∑ P(k_{1},k_{2},k_{3})x^{k_{1}}y^{k_{2}}z^{k_{3}},\]
где суммирование идет по $k_{1},k_{2},k_{3}$, удовлетворяющим условию
$$k_{1}+k_{2}+k_{3}=n.$$