Феномен симметрии

«Объектом» может быть что угодно: геометрическая фигура, уравнение движения, модель того или иного явления и т. п. Правильный многогранник, например, не меняется, самосовмещаясь под воздействием определённой группы поворотов. И это очень естественный способ изучения объекта. Надо подействовать на него некоторым образом, и посмотреть на реакцию. По реакции можно многое понять. Живой – неживой, приличный – неприличный. Но мы пока о другом. Скажем, есть функция времени, f(t), и мы знаем, что f(t) не меняется при любом изменении начала отсчёта времени. Что следует отсюда? Отсюда следует, что f(t) не зависит от времени. А если функция z=h(x,y) инвариантна (нечувствительна) к любым поворотам системы координат, то она гарантированно является функцией от x^2+y^2.

Оба результата интуитивно понятны. На формальных доказательствах мы не останавливаемся, дабы не отвлекаться от главного в данном контексте. Наша с вами задача Вас заинтересовать. Открыть обзор, горизонты. Иначе ученичество напоминает путешествие в трюме корабля. Ничего не видно, неясно где и куда плывём. А ведь настроение, пейзажи, мотивы – это ключевые вещи на жизненном пути. Поэтому вот ещё один аванс.

Инвариантность уравнений классической механики к преобразованиям Галилея – влечёт за собой законы сохранения энергии и количества движения

Ещё один эффектный вид симметрии – инвариантность формул по отношению к выбору системы единиц измерения. Характер зависимостей не меняется, измеряем ли мы, скажем, длину в метрах или милях. Заранее ясно, например, что период Т колебаний маятника может

зависеть лишь от m, g, l. Поиск формулы для Т сводится к поиску комбинации из m, g, l, имеющей размерность времени. Такая комбинация единственна: корень из l/g, масса m оказывается ни при чём. Поэтому Т^2~l/g. Такие методы позволяют просто решать очень сложные задачи, но об этом в следующий раз.