Комплексные числа*
Как возникают и что обеспечивают. О дополнительности «видео» и текстов. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы.
Учить в первую очередь надо рабоче-крестьянской математике, начиная с неё как с некой середины. Потом уже народ бросится врассыпную, кто куда. Но мнимая единица i, как бы оппозиция ни противилась, безусловно, входит в рабоче-крестьянский ассортимент. Она ничем не хуже обычной единицы.
Между прочим, объяснять механизм появления новых понятий лучше всего на примере комплексных чисел. Особенно для тех, кто о них впервые слышит. Итак, вернёмся к уравнению x^{2}=b, которое при b<0 не решается. Но что мешает нам объявить, что некое i при возведении в квадрат даёт -1.
Кое-кто, конечно, возмутится. А что, дескать, нам мешает объявить, что завтра, в среду, выходной, – и не ходить в школу? – Ничто не мешает. Но аналогия хромающая, обстоятельства другие. Более подходящее сравнение было бы с геометрической точкой или шахматной фигурой.
Так что мнимая единица i – придуманное понятие, фикция в некотором роде. И пусть не смущают параллели типа маленького шарика для геометрической точки. Мы для i тоже что-нибудь придумаем. Да и полезно окажется.
Двинемся дальше. Мнимые числа iy, квадраты которых отрицательны, должны (для замкнутости в арифметике) складываться с обычными числами x, порождая числа вида x+iy, которые и называют комплексными. Могло бы оказаться, что эти комбинации x+iy никаких
дивидендов не дают. Ни замкнутости в арифметике, ни возможности извлекать все корни. Но получается даже больше, чем мы рассчитывали. И замкнутость, и корни. И даже корни любой n-й степени извлекаются. К тому же решаться начинают ещё и алгебраические уравнения любой степени! Это свидетельствует о большой удаче и точном попадании. При этом комплексные числа помогают решать обыкновенные задачи, у которых ни в условии, ни в ответе никаких мнимых единиц нет.
Самый главный вопрос. Комплексные числа существуют во Вселенной сами по себе, или это мы придумали их для удобства мышления и анализа окружающей действительности? Первая точка зрения облегчает дорогу в сумасшедший дом, где закончили жизненный путь многие творцы Теории Множеств. Поэтому вторая точка зрения предпочтительна, и мы до поры до времени будем её придерживаться.
Удача с находкой тригонометрической формы комплексного числа – далеко не рядовое событие. Это пример чуда, которое происходит вот по такой схеме. Разделы математики с той или иной долей натяжки можно себе представлять, как изучение некоторого множества A объектов с определёнными в этом множестве операциями. Какие-то операции выполняются легко, какие-то – трудно. Естественно выглядит попытка установить взаимнооднозначное соответствие A с каким-либо другим множеством B, и посмотреть, какие манипуляции в B соответствуют операциям в A. Если действия в B проще операций в A, то задачи можно решать в B, а потом решение возвращать в A. И удачный выбор B – всегда событие.